1. Hiérarchisation et essence des transformations
Définition : Figures homothétiques Si deux figures sont non seulement semblables, mais que toutes les droites passant par des points correspondants se croisent en un même point, alors ces deux figures sont appelées figures homothétiques, et ce point est appelé centre d'homothétie.
Une figure congruente est une figure semblable dont le rapport de similitude est 1, donc la congruence est un cas particulier de similitude. La translation, la symétrie axiale et la rotation préservent la congruence des figures ; tandis que l'homothétie modifie la taille par dilatation tout en conservant la forme.
2. Contrainte essentielle de la similitude à l'homothétie
Les figures semblables exigent uniquement que les angles correspondants soient égaux et que les côtés correspondants soient proportionnels ; tandis que les figures homothétiques ajoutent une contrainte forte : toutes les droites passant par des points correspondants doivent passer par un même point.
Propriété : Propriétés des figures homothétiques
1. Les figures homothétiques sont toujours semblables, mais les figures semblables ne sont pas nécessairement homothétiques.
2. Le rapport des distances entre les points correspondants et le centre d'homothétie est égal au rapport de similitude.
3. Évolution dimensionnelle : loi du carré des aires
Comprendre comment le rapport des longueurs (rapport de similitude $k$) influence les propriétés d'ordre supérieur : le rapport des périmètres suit $k$, tandis que le rapport des aires suit $k^2$. Cette loi fondamentale s'exprime de manière particulièrement claire dans les transformations homothétiques.
Si on agrandit chaque côté d'une affiche de $10\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ de 3 fois. Bien que le périmètre devienne seulement 3 fois plus grand, la surface physique couverte augmente proportionnellement à $3^2 = 9$ fois.